2.1棱柱

1、棱柱的概念和性质

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。

棱柱的分类：

一、（1）侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；

（2）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

二、底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

2、长方体

底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体。

长方体的对角线的性质

（1）长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。

（2）长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是α、β、γ，则 cos²α+cos²β+cos²γ=1（sin²α+sin²β+sin²γ=2）

（3）长方体的一条对角线与各个面所成的角分别是α、β、γ，则 cos²α+cos²β+cos²γ=2 （sin²α+sin²β+sin²γ=1）

例题

一、选择题

1、集合M={长方体} ，N={正四棱柱} ，P={平行六面体} ，Q={正方体} ，则它们之间的关系是（　　 ）

(A)MÉNÉPÉQ ;　　　　　　　　　　　　 (B)PÉMÉNÉQ ;

(C)NÉQÉMÉ ;　　　　　　　　　　　　　 (D)PÉNÉMÉQ .

答案：(B)

2、两个对角面都是矩形的平行六面体一定是（　　 ）

(A)直平行六面体；　 (B)长方体；　 (C)正四棱柱；　 (D)正方体。

答案：(A)

3、过正三棱柱底面一边和两底中心连线段的中点作截面，则这截面的形状是（　 ）

(A)等腰三角形； (B)直角三角形； (C)等腰梯形； (D)平行四边形。

答案：(C)

4、已知正六棱柱的侧面都是正方形，若底面边长为a ，则其最大的对角面的面积是（　　 ）

答案：(B)

5、若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别为a、b、c ，则长方体的对角线长是（　　 ）　　　　

答案：(B)

6、长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAB₁=45⁰ ， ∠DAD₁=60⁰ ，那么∠B₁AD₁的余弦值是（　　）

答案：(D)

　 二、解答题

7、四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为a的正方形，侧棱长为b(0<a< ),上底一个顶点A₁与下底面四个顶点等距离。

（1）求证：两个对角面一个是矩形，一个垂直于底面，且两个对角面互相垂直；

（2）求两对角面的面积。

解：（1）作A₁O⊥底面ABCD , O为垂足　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵A₁到A、B、C、D等距离，

[注]要证平行六面体是长方体，需证明（1）底面是矩形；（2）侧棱垂直于底面。