【教学课题】: 已知三角函数值求角

【教学目标】: 了解反三角函数的定义，掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学重点】: 掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学难点】: 反三角函数的定义

【教学过程】:

一．  问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（ ），我们如何表示 呢？相当于 中如何用 来表示 ，这是一个反解 的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

（1）包含锐角；（2）具有单调性；（3）能取得三角函数值域上的所有值。

显然对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；对 ，这样的区间是 ；

二．新课的引入：

1．反正弦定义：

反正弦函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的正弦值为 。

反正弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

２．反余弦定义：

反余弦函数：函数 ， 的反函数叫做反余弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的余弦值为 。

反余弦：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正弦，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ，由于 ，故 为负值时， 表示的是钝角。

３．反正切定义：

反正切函数：函数 ， 的反函数叫做反正弦函数，记作： .

对于 注意：

（1） （相当于原来函数的值域）；

（2） （相当于原来函数的定义域）；

（3） ；

即： 相当于 内的一个角，这个角的正切值为 。

反正切：符合条件 （ ）的角 ，叫做实数 的反正切，记作： 。其中 ， 。

例如： ， ， ，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三．课堂练习：

例1．请说明下列各式的含义：

(1) ；  (2)  ； (3） ； (4) 。

解：（1） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角是 ；

（2） 表示 之间的一个角，这个角的正弦值为 ，这个角不存在，即 的写法没有意义，与 ， 矛盾；

（3） 表示 之间的一个角，这个角的余弦值为 ，这个角是 ；

（4） 表示 之间的一个角，这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：（1） 与 ；（2） 与 。

解：（1）设： ， ； ， ，

则 ， ，

∵ 在 上是增函数， ，

∴ ，即 。

（2） 中 小于零， 表示负锐角，

中 虽然小于零，但 表示钝角。

即： 。

例3．已知： ， ，求： 的值。

    解： 正弦值为 的角只有一个，即： ，

    在 中正弦值为 的角还有一个，为钝角，即： ，

    所求 的集合为： 。

    注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4．已知： ， ，求： 的值。

    解： 余弦值为 的角只有一个，即： ，

    在 中余弦值为 的角还有一个，为第三象限角，即： ，

    所求 的集合为： 。

例5．求证： （ ）。

证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

则 ，即： ，即： ，

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

例6．求证： （ ）。

证明：∵ ，∴ ，设 ， ，

则 ，即： ，即： （*），

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，即： 。

注意：（*）中不能用 来替换 ，虽然符号相同，但 ，不能用反余弦表示 。

四．课后作业。